マーティン・ガードナーの「粘度8の数」

マーティン・ガードナーの「粘度8の数」

1つ前の記事で「マーティン・ガードナーの数の粘度」の問題に取り組み、とりあえず粘度5、6、7の数を発見しました。その際、理詰めではよく分からないのでとにかく1から順に数を調べ上げていって、それぞれの数の粘度を求めていったのでした。もちろん手作業ではとてもできないので、PCのプログラミングを利用しました。

引き続きそのプログラムを走らせていると・・・見つかりましたよ、粘度8の数が。

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最小の粘度8の数

次の画像でもお分かりの通り、「2677889」が最小の粘度8の数であるようです。まあこの調子でプログラムを走らせていくと、いずれは粘度9の数も見つかったりするんじゃないでしょうかね?

数の系列

前回の記事の最後の方で「もひとつ予想」と書いたことがありますね。仮にこれが証明できれば、数をしらみつぶしに調べなくても「最小の粘度5の数」が見つかったはずなのですが・・・。

もひとつ予想: 1桁の数の積に分解できる最小の粘度nの数に対し、その1桁の数を適切に並べ替えると、最小の粘度n+1の数が得られる。

しかしこれは、n=2に対しては当てはまっていませんね。

  • 1桁の数の積に分解できる最小の粘度2の数=25(→ここから得られる粘度3の数は55)
  • 最小の粘度3の数=39

となっているためです。残念です。

ただしこの予想は、n=0,1,3,4,5,6,7に対しては当てはまっています。この様子をチャートに表してみましょう。いきなり粘度8まで表示すると訳が分からなくなるので、まず粘度4までのチャートです。このチャートでは、赤字で「最小の粘度nの数」を、太枠で「1桁に分解できる最小の粘度nの数」を表しています。また、もちろんここに表示していない数はたくさんあります。例えば「111」は粘度1の数で、かけ算すると「1」になります。

 

「もひとつ予想」の内容をチャートで表現すると、「赤字太枠」ということです。ほら、粘度3→粘度2のところだけおかしいですよね。

引き続き、粘度8までの数を加えて表示します。

 

やはり、粘度3→粘度2のところを除いて、「赤字太枠」が成立しています。なんだか悔しいですね。

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というわけで、現状としては、マーティン・ガードナーの問い(最小の粘度5の数は何か?)に答えるためには、「n≧3では『もひとつ予想』が成り立つ」などと証明できない限りは「679までの全ての数をしらみつぶしに調べて、679が初めて粘度5になったから、答えは679」と言うしかないような気がします・・・。

とりあえず現状はこんなところです。こういう問題でも解ける人はスラリと解いてしまうんでしょうね。ぜひ模範解答を見てみたいです。

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